FUNCIONES LOGARÍTMICAS

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

A MANERA DE INTRODUCCIÓN. 

PRESIÓN ATMOSFÉRICA.  La presión atmosférica disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Al nivel del mar es de 1 atmósfera, pero, aproximadamente, por cada kilómetro que se asciende su valor es 0,9 veces la existente un kilómetro más abajo.
Forma una tabla de valores que exprese esta situación.
 

Altura sobre el nivel del mar (km)	Presión atmosférica (atmósferas)
Al nivel del mar	1
1	0,9
2	0’92 = 0,81
3	0’93 = 0,729
4	0’94 = 0,656
5	0’95 = 0,590
6	0’96 = 0,531
...	...
x	0’9x

Veamos ahora el problema inverso: ¿A qué altura se encontrará un globo sonda que marca en un barómetro 0’325 atmósferas?

Si representamos por x la altura, tendremos que resolver la ecuación:

0,325 = 0,9^x.

 

 

Para obtener una solución aproximada podemos prolongar la tabla y vemos que el globo se encontrará entre 10 y 11 km sobre el nivel del mar. 

De la ecuación anterior, el valor exacto de x se define como el logaritmo en base 0,9 de 0,325, como sigue:

De lo anterior se deduce que: 

 x=10,66

La extraña palabra de logaritmo fue introducida a finales del siglo XVI por el matemático inglés John Naiper (1550-1617).

DEFINICIÓN

Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma:

f(x) = log_a(x) 

Donde: "a" (constante) es la base del logaritmo y "x" es la variable de la función.

Además es necesario mencionar que el logaritmo de un número se define como: 

Donde:       La basey
                 El número
Sabemos también que las bases más frecuentes para los logaritmos son las base 10 (logaritmos decimales) y la base el número "e=2,718281.." (logaritmos neperianos). Así las funciones más conocidas y manejadas son:

Gráficas

A continuación representamos las gráficas de unas cuantas funciones logarítmicas, para una mayor comprensión de su comportamiento.

También es de suma importancia observar que la función logarítmica cambia de comportamiento en función a los valores que puede tomar la base del logaritmo, en este caso "a", tal como se puede observar a continuación:

PROPIEDADES

 

A partir de las gráficas presentadas anteriormente se observa el cumplimiento de las siguientes propiedades:

1. La función existe sólo para valores de x mayores que 0, en consecuencia no existen logaritmos de cantidades negativas y el cero. Así el DOMINIO de la función logarítmica es R+ o el intervalo (0,∞)
2. La función logarítmica cuya base del logaritmo varía entre 0<a<1, es decreciente a medida de que la variable "x" toma mayores valores.
3. La función logarítmica cuya base del logaritmo varía entre 1<a<,∞ es creciente a medida de que la variable "x" toma mayores valores.
4.  En todos los casos la función logarítmica pasa por un punto fijo: el (1,0), es decir que la función logarítmica siempre CORTA AL EJE DE ABSCISAS en el punto (1,0). 
5. Observa que la función se acerca al eje Y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que a>1 y hacia arriba en caso de a<1 ("SIEMPRE POR LA DERECHA"), se dice por ello que: EL EJE Y ES UNA ASÍNTOTA VERTICAL-

A manera de Conclusión.

El estudio de las funciones logarítmicas en el Nivel Secundario es de suma importancia, para desarrollar en el estudiante conocimentos y habilidades matemáticas que le permitan mayor comprensión de la realidad que le rodea. Algunos ejemplos de la incidencia de las funciones logarítmicas en la naturaleza, se presentan a continuación:

Es una espiral logarítmica, se caracteriza por ser espiral equiangular o espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Su nombre proviene de la expresión de una de sus ecuaciones.

 

Los brazos de las galaxias espirales son espirales logarítmicas. La Vía Láctea, tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de 12 grados. Entre las galaxias del Universo que presentan esta característica se puede mencionar a Andrómeda, la más cercana a nuestra Via Láctea.

Las espirales logarítmicas se pueden encontrar en varios objetos y fenómenos de nuesro contexto como ser:

 

Informaciones similares podemos encontrar encontrar en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica

http://covacha-matematica.blogspot.com/2011/09/todas-las-espirales-fibonacci-son.html

BIBLIOGRAFÍA
De Guzman, M. (1988). Matemáticas. Bachillerato 2. Grupo Editorial Anaya. Madrid - España

Goñi, J. (2000). Álgebra la Generalización de la Matemática. Editorial Ingeniería E.I.R.L. Lima - Perú.

Chungara, V. (2002). Cálculo I. Apuntes y Problemas.

www.sectormatematica.org