FUNCIONES EXPONENCIALES

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

Introducción.

Siempre que haya un proceso que evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo, sea acelerada y proporcional a lo que había al comienzo del mismo, ese proceso se describe mediante una exponencial. Por ejemplo:

• Crecimiento de bacterias y otras poblaciones animales o vegetales.
• Interés del dinero acumulado.
• Desintegración radiactiva

Un ejemplo real

Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la célula en dos cada espacios de tiempo muy pequeños, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producen en estos casos, a partir de una, en un día?

Siendo x los intervalos de 15 minutos; luego x=4 en una hora, x=8 en dos horas y x=96 en un día. Así el número de bacterias en una hora es: 2⁴=16, en dos horas 2⁸=256 y en un día 2⁹⁶=79228162514264337593543950336.
Esto nos da idea del llamado ¡crecimiento exponencial!, expresión que se utiliza cuando algo crece muy deprisa.


Definición

Se llama función exponencial de base "a" aquella cuya forma genérica es:

f (x) = a^x 

Siendo "a" un número positivo distinto de 1.
Si la base es a=1 entonces f(x)=1; y cuando la base es negativa la función no tiene sentido en el campo de los Reales.
Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

Gráficas

La gráfica de una función exponencial varía dependiendo de los valores que puedan tomar sus variables.

En primera intancia graficamos dos sencillos ejemplos de funciones exponenciales. La base es 2 en ambos casos, y el exponente que hemos tomado es x en el primer caso y –x en el segundo.

En este segundo gráfico se observa cómo el comportamiento de la función cambia tomando en cuenta los valores que asume la base "a"

Propiedades:

1. La base debe ser a > 0
2. Cuando la función asume x > 0 es creciente, mientras que cuando x < 0 es decreciente, cuando es x=0 y x=1 se trata de una recta.
3. Observa que la función existe para cualquier valor de "x". Decimos que la función existe siempre o que el DOMINIO de la función es todo R.
4. Los valores de "y" son siempre positivos, luego la función siempre toma valores positivos para cualquier valor de "x".
5. La función es creciente o decreciente, dependiendo de los valores de la base "a". Por tanto la función es creciente si a>1 y si 0<a<1 es decreciente. 
6. La función se acerca al eje X tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia la derecha en el caso en que a<1 y hacia la izquierda en caso de a>1 . Eso implica que el EJE X ES UNA ASÍNTOTA HORIZONTAL

La función e^x.

Un caso particularmente interesante de función exponencial es:

f (x) = e^x 

El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:
(1 + 1/n)ⁿ   cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos.

La función e^x presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas de las situaciones del contexto real. Una de ellas es que coincide con su propia derivada

Actividades Complemetarias


1. Pedimos dinero en un banco y nos comprometemos a devolverlo todo a los 5 años. Nos dicen que debemos devolver exactamente el doble que lo que los dieron, ¿qué interés nos están pidiendo?


2. Se coloca un 6.000 euros al 12% de interés.


a) ¿Cuánto dinero se tendrá al cabo de 10 años?


b) ¿En cuánto tiempo se duplicará?

2. Se calcula que un bosque tiene 24000 m3 de madera y que aumenta un 3,5 % al año. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la cantidad de madera si sigue creciendo en estas condiciones? Otro bosque tiene 50000 m3 y la misma tasa de crecimiento. ¿Tardará el mismo tiempo en duplicarse? ¿Depende el tiempo de duplicación de la cantidad de madera inicial?

3. Parece ser que los piojos del cabello se reproducen duplicando su número cada 4 días. Si un niño tiene un piojo en su cabeza, y considerando que todos viven:


a) ¿Cuántos piojos tendrá dentro de 12 días ¿Y de 20 días?

b) Escribe la función y represéntala.


c) Tiene sentido unir los puntos.


d) Si en el momento inicial el niño tenía 10 piojos, contesta nuevamente a los apartados a y b.

BIBLIOGRAFÍA
De Guzman, M. (1988). Matemáticas. Bachillerato 2. Grupo Editorial Anaya. Madrid - España

Goñi, J. (2000). Álgebra la Generalización de la Matemática. Editorial Ingeniería E.I.R.L. Lima - Perú.

Chungara, V. (2002). Cálculo I. Apuntes y Problemas.

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